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Cp、Cpk、Pp、Ppk全解

1. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk概念

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來(lái)體現過(guò)程能力的指標，它們是用來(lái)測量過(guò)程能力的指數（process capability index），不是過(guò)程能力本身。很多人只知道計算這些指數，卻并不知道過(guò)程的固有能力到底是什么。那什么是過(guò)程能力（process capability）？

2. 過(guò)程能力的定義

過(guò)程能力是指過(guò)程本身在沒(méi)有外因干預、沒(méi)有漂移（drift）（即統計學(xué)意義上可控under statistical control）的情況下其產(chǎn)出品的均一程度 (uniformity of product)。不難理解，我們不可能直接測量過(guò)程本身，而只能通過(guò)測量其產(chǎn)出品的某個(gè)特性來(lái)體現其能力。通常用被測量的特性的離散程度， 即標準方差， （西格瑪），來(lái)表示過(guò)程能力。而且過(guò)程能力被量化為 ，即其總寬度為6個(gè)西格瑪。

例如A過(guò)程的西格瑪=2，其過(guò)程能力=6*2=12。

B過(guò)程的西格瑪=2.5，其過(guò)程能力=6*2.5=15。那么問(wèn)題來(lái)啦：A過(guò)程和B過(guò)程那個(gè)好呢？

答案是：視情況而定（it depends）。為什么？因為沒(méi)有判斷標準。

3. 衡量過(guò)程能力的指標的定義與計算公式

也許你已經(jīng)注意到過(guò)程能力的定義與產(chǎn)品的可接受標準(specifications)無(wú)關(guān)?？墒?span style="color:#337FE5;">拋開(kāi)產(chǎn)品的可接受標準，單純地講過(guò)程能力，又毫無(wú)意義。這就是為什么人們要引入“過(guò)程能力的指標（Cp, Cpk, Pp 和 Ppk ）”這些概念。

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指數是過(guò)程能力和可接受標準比較的結果，也被稱(chēng)為過(guò)程能力比率（process capability ratio）。筆者更傾向于使用過(guò)程能力比率，因為它直觀(guān)。另外這些概念的計算都引入了標準方差或西格瑪，因此它們都是統計學(xué)意義上的概念，也正是如此它們都沒(méi)有單位。

有趣的是，權威書(shū)籍中均沒(méi)有體現這幾個(gè)符號（Cp, Cpk, Pp ,Ppk）所代表的英文詞。而在這個(gè)英文網(wǎng)站上⑥：https://www.isixsigma.com/tools-templates/capability-indices-process-capability/ 有以下的定義：

這些定義很顯然是有問(wèn)題的，因為這四個(gè)符號都是“index”或“ratio”。筆者認為它們的定義是這樣的：

Cp= Process Capability Ratio 可被譯為“過(guò)程能力指數”

Cpk= Process Capability K Ratio 可被譯為“過(guò)程能力K指數”

Pp= Process Performance Ratio 可被譯為“過(guò)程績(jì)效指數”

Ppk= Process Performance K Ratio  可被譯為“過(guò)程績(jì)效K指數”

注：據有人說(shuō) 這里的‘k’ 是 ‘centralizing facteur’⑥，可能是法語(yǔ)，即“居中因子”。

據此，Cp和Cpk被稱(chēng)為過(guò)程能力指數；而Pp和Ppk則被稱(chēng)為過(guò)程績(jì)效指數。我們權且將過(guò)程能力指數和績(jì)效指數統稱(chēng)為衡量過(guò)程能力的指標。

以上是關(guān)于Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指標的定義。下面我們討論這些指標的計算方法。

了解了這些概念和計算公式，下面讓我們看看這些指數的共同點(diǎn)和區別。

4. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的異同點(diǎn)

4.1 Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的共同點(diǎn)：

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來(lái)測量過(guò)程能力的指標。它們的共同點(diǎn)是：

? 都被用來(lái)表示過(guò)程能夠生產(chǎn)出達到可接受標準的產(chǎn)品的程度或能力

? 都被用來(lái)表示過(guò)程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的比率

? 它們的值越大，過(guò)程越能夠更好地生產(chǎn)出達到可接受標準的產(chǎn)品

4.2. 有k指數（Cpk和Ppk）和沒(méi)k指數（Cp和Pp）的區別：

首先是有k指數（Cpk和Ppk）和沒(méi)k指數（Cp和Pp）的區別：沒(méi)k指數（Cp和Pp）只顯示過(guò)程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關(guān)系；而有k指數（Cpk和Ppk）除了顯示過(guò)程的產(chǎn)出品的散程度和可接受標準的關(guān)系外，還關(guān)注過(guò)程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標準的中間值。其數學(xué)關(guān)系是：有k指數永遠不大于沒(méi)k指數，即：

? Cpk≤Cp（當過(guò)程的產(chǎn)出品的均值和可接受標準的中間值重疊時(shí)，Cpk=Cp， 否則Cpk

? Ppk≤Pp（當過(guò)程的產(chǎn)出品的均值和可接受標準的中間值重疊時(shí)，Ppk=Pp， 否則Ppk

我在工作中發(fā)現沒(méi)K指數（Cp和Pp）應用得較少，估計是因為很少有過(guò)程的產(chǎn)出品的均值正好與可接受標準的中間值重疊。但其實(shí)這是不對的：有k指數（Cpk和Ppk）和沒(méi)k指數（Cp和Pp）應該一起使用才能準確體現過(guò)程的能力，詳情其后討論。

現在讓我們先看看過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的區別。

4.3 過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的區別

過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的區別，即Cp和Pp的區別，Cpk和Ppk的區別。

其中 R-bar是通過(guò)將被考量的過(guò)程在某一時(shí)段（考察區間）的產(chǎn)出品的觀(guān)察樣本的某個(gè)性能的數值制成過(guò)程控制圖（Control Chart）來(lái)得到的；而d2 則是一個(gè)統計學(xué)常數，與過(guò)程控制圖的樣本亞組（subgroup）的樣品個(gè)數有關(guān)，其值可以參考下表⑤。

d2的值可以通過(guò)很多書(shū)籍查到，但常用的就是n小于10的值。其實(shí)超過(guò)5的話(huà)數據量就很大了。

現在我們了解了S和 西格瑪的區別，那么我們是不是就理解了Cpk和Ppk的區別了呢？似乎沒(méi)那么簡(jiǎn)單。相信大家還是弄不清它們的本質(zhì)區別。

下面我們用一個(gè)很容易理解的例子來(lái)說(shuō)明一下它們的計算。

假設公司有班車(chē)接員工上班， 我們讓坐班車(chē)的同事記錄班車(chē)第一個(gè)站到公司的時(shí)間（分鐘），觀(guān)測了30天，得到下面表格的數據。

使用標準差公式計算，得出S=11.6。

假設公司要求司機每天要在從第一站到公司的時(shí)間要保持在55分鐘到70分鐘之間（時(shí)間太短司機可能超速，不安全，時(shí)間太長(cháng)班車(chē)會(huì )晚點(diǎn)），則LSL=55，USL=70。套用以上的公式可以得到以下Pp和Ppk的結果。

根據這個(gè)控制圖，得到 R-bar=12.7。

運用上面的公式 可以得到 西格瑪=12.7/1.128=11.259。

再運用Cp和Cpk的公式得到：

Cp =  0.222，   Cpk =  0.138

綜上我們可以得到以下的結果：

Pp =  0.216  Ppk =  0.134；Cp =  0.222，  Cpk =  0.138

大多數人可能都會(huì )得到這樣的結果并就此打住。但是這里關(guān)于Cp和Cpk的計算存在很明顯的錯誤，因為Cp和Cpk的計算是有兩個(gè)必要條件的：

1. 過(guò)程是穩定的(處于統計受控狀態(tài))

2. 所觀(guān)測的數據是呈正態(tài)分布的

沒(méi)有這兩個(gè)必要條件所計算出來(lái)的Cp和Cpk值是不具有統計學(xué)意義的，或者說(shuō)所得到的Cp和Cpk不準確。

上圖很明顯地看出，這個(gè)過(guò)程是處在“非穩定或非可控”（not stable or not under control）狀態(tài)，因為圖中有1個(gè)點(diǎn)超出了控制上限（UCL）。根

Cp和Cpk的定義，該組數據中有特別原因造成的點(diǎn)，過(guò)程不穩定，因此不能直接用此控制圖的數據來(lái)計算Cp和Cpk。這也是為什么不要用數學(xué)公式來(lái)直接計算 并計算Cp和Cpk的原因。為了得到穩定的過(guò)程控制圖，需要把這個(gè)點(diǎn)去掉，再重新制圖，得到下面的控制圖。

請注意這個(gè)圖還是有一個(gè)點(diǎn)是超出控制線(xiàn)的（R-圖中的虛線(xiàn)的點(diǎn)），這個(gè)點(diǎn)也應該被去掉。去掉這個(gè)點(diǎn)，可以得到下面的控制圖。

于是我們得到結果：

Cp = 0.330

Cpk = 0.193

可以看出實(shí)際的Cp和Cpk都有所增加。也就是說(shuō)如果過(guò)程不穩定，計算出來(lái)的Cp和Cpk值會(huì )偏低，這就會(huì )低估過(guò)程的潛在能力。
根據定義，Pp和Ppk 的計算是不可以把這兩個(gè)點(diǎn)去掉的。因此Pp和Ppk 是不需要重新計算的。這樣針對這個(gè)例子中的數據，我們可以得到：

Pp = 0.216, Cp = 0.330;

Ppk = 0.134, Cpk = 0.193;

除了過(guò)程穩定，過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）的計算還需要數據呈正態(tài)分布。那么這組數據是否符合正態(tài)分布呢？我們可以借助統計學(xué)工具來(lái)做分析，如下圖?？梢钥闯鰌>0.05，所以這組數據是成正態(tài)分布的。所以上面的計算是成立的。

值得注意的是數據是否成正態(tài)分布與過(guò)程是否穩定沒(méi)有直接的關(guān)系。不穩定的過(guò)程的數據也可能是成正態(tài)分布的。

至此，該組數據(去掉兩個(gè)點(diǎn))通過(guò)了這兩個(gè)測試：過(guò)程穩定和正態(tài)分布。因此上面的關(guān)于Cp和Cpk的計算是正確的。而用于Pp和Ppk計算的數據則不必進(jìn)行這兩個(gè)測試。

通過(guò)這個(gè)例子，可以將過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的區別總結如下：

1. 過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）表示的是過(guò)程在穩定（即沒(méi)有任何特殊原因或漂移干擾產(chǎn)出品的特性或者說(shuō)是在可控（under control）的）狀態(tài)下能使其產(chǎn)出品達到可接受標準 的程度的指標，也可以理解為過(guò)程的"潛在"能力。（注："潛在"是相對目前的過(guò)程條件而言，改變過(guò)程條件可以不斷提高Cp和Cpk，這就是不斷改進(jìn)（continuous  improvement ）的理念。因此將Cp和Cpk翻譯成"過(guò)程潛能指數"和"過(guò)程潛能K指數"更為貼切。因為Cp和Cpk體現的是穩定狀態(tài)下過(guò)程的潛在能力，因此Cp和Cpk可以用來(lái)預測該過(guò)程將來(lái)在現有過(guò)程條件下的最好的情況。

2. 過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）則是過(guò)程在過(guò)去某個(gè)觀(guān)察時(shí)段內的實(shí)際績(jì)效，即是該過(guò)程的已經(jīng)產(chǎn)生的產(chǎn)出品實(shí)際達到可接受標準的情況。它們不考慮過(guò)程是否穩定，即便可能包括特殊原因（special cause）干擾產(chǎn)出品的特性或者說(shuō)過(guò)程不一定處在一個(gè)可控的狀態(tài)（out of control），同樣可以計算出Pp和Ppk。由于Pp和Ppk是體現過(guò)程在過(guò)去的某個(gè)時(shí)段的績(jì)效，所以Pp和Ppk被稱(chēng)為"過(guò)程績(jì)效指數"。也正因如此，Pp和Ppk  僅代表過(guò)程過(guò)去的情況，并不能用來(lái)預測過(guò)程將來(lái)的狀態(tài)（將來(lái)可能更好也可能更壞，當然也可能一樣）。

許多作者反對使用過(guò)程績(jì)效指數，因為它們沒(méi)有統計學(xué)意義，而且認為是統計學(xué)在SPC--統計學(xué)過(guò)程控制中應用的倒退。有趣的是過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）是美國三大汽車(chē)公司為了對其供應商的績(jì)效進(jìn)行標準化而產(chǎn)生的，并且被納入了美國ANSI標準。
筆者認為過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的產(chǎn)生與其計算簡(jiǎn)單且沒(méi)有太多的統計學(xué)限制有關(guān)。因為它們始終不會(huì )大于過(guò)程能力指數（Cp和Cpk），作為過(guò)程過(guò)去的業(yè)績(jì)指標還是可以的。但是它們會(huì )低估過(guò)程的實(shí)際潛在能力，可能誤導過(guò)程改進(jìn)的方向。

3. 許多作者都認為過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）是短期過(guò)程能力指標，而過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）是長(cháng)期過(guò)程能力指標①②③⑥。但這個(gè)說(shuō)法很容易被誤解為Cp和Cpk是短時(shí)間收集的數據，而Pp和Ppk是長(cháng)時(shí)間觀(guān)測收集的數據。而實(shí)際上這里的"短期""長(cháng)期"與采集數據的時(shí)間長(cháng)短沒(méi)有任何關(guān)系①，因為短期測試結果也可能存在由特殊原因引起的離散（variability），而長(cháng)期收集的數據也可能沒(méi)有特別原因引起的離散。其本質(zhì)的區別是計算中是否允許有被特殊原因引起離散的數據：Pp和Ppk是將所有被觀(guān)測的樣本數據都用于標準方差的計算， 而用于計算Cp和Cpk的西格瑪不應該包括由特殊原因引起離散的數據。

綜上，我們可以將過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）及過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的本質(zhì)區別總結如下：過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）是過(guò)程的過(guò)去或現實(shí)；而過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）是過(guò)程的潛能或將來(lái)。過(guò)程能力指數的計算必須滿(mǎn)足"過(guò)程穩定"和"數據正態(tài)分布"兩個(gè)必要條件；而用于Pp和Ppk計算的數據則不必進(jìn)行這兩個(gè)測試。過(guò)程能力指數及過(guò)程績(jì)效指數的數學(xué)關(guān)系是：Cp≥Pp ， Cpk≥Ppk。當過(guò)程穩定（stable或under control）且數據呈正態(tài)分布時(shí)Cp=Pp，Cpk=Ppk（注意這里的"="是統計學(xué)意義上的相同)；只要有特殊原因存在， Cp>Pp , Cpk>Ppk。理解這一點(diǎn)對它們的應用很關(guān)鍵。

5. Cp，Pp ，Cpk和Ppk的應用

首先了解過(guò)程能力指數和過(guò)程績(jì)效指數的區別可以幫助理解在什么情況下采用哪個(gè)指標。通常要知道過(guò)程的實(shí)際績(jì)效情況，即過(guò)程實(shí)際的產(chǎn)出品滿(mǎn)足可接受標準的情況，應該采用過(guò)程績(jì)效指數。如果想知道目前的過(guò)程是否已經(jīng)是達到了穩定的潛在狀態(tài)時(shí)，可以比較過(guò)程能力指數和過(guò)程績(jì)效指數的差別，即Cp和Pp， Cpk和Ppk的差別：二者差別越小，說(shuō)明目前的過(guò)程的績(jì)效越接近穩定狀態(tài)，即過(guò)程不存在太多的特殊原因引起的偏離（variation）。如果差異很大，則說(shuō)明過(guò)程不穩定，需要找出那些特別的原因，消除這些原因，過(guò)程即可被改進(jìn)。管理者也可以利用過(guò)程能力指數和過(guò)程績(jì)效指數的差別，制訂不斷改進(jìn)的目標。例如上面的例子Ppk=0.134， Cpk=0.193。目標可以是讓Ppk達到0.193.

了解了有K和沒(méi)K的區別可以幫助公司判斷過(guò)程的產(chǎn)出品是否偏離可接受標準的中間值。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差不大，說(shuō)明過(guò)程的產(chǎn)出品的特性均值沒(méi)有偏離可接受標準的中間值太多。要提高Ppk或Cpk的值，只能減少點(diǎn)間差或樣品亞組內最大和最小值的差異，即降低過(guò)程的標準方差（S或 西格瑪）。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差很大，那么將過(guò)程的產(chǎn)出品的特性的均值調整到可接受標準的中間值，就會(huì )很有效地提高Ppk和Cpk值，使過(guò)程能更好地滿(mǎn)足可接受標準的要求。當然這也可以通過(guò)計算樣本的均值，并和可接受標準的中間值比較來(lái)完成。

另外，過(guò)程能力指數和過(guò)程績(jì)效指數可以被用來(lái)衡量供應商的業(yè)績(jì)。如果可接受標準是一樣的，當然指數越大的供應商越好。

值得注意的是經(jīng)典的作者都沒(méi)有將過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）作為考量過(guò)程是否能達標的指標，因為績(jì)效指數的計算沒(méi)有考慮過(guò)程是否穩定，而沒(méi)有穩定性就沒(méi)有過(guò)程能力可言。

6. 總結

過(guò)程能力是指過(guò)程離散度的6西格瑪寬度，與其產(chǎn)出品的可接受標準無(wú)關(guān)。如果過(guò)程的產(chǎn)出品的數據是呈正態(tài)分布的，那么99.73%的數據會(huì )落在這個(gè)6西格瑪的寬度內。

常用的衡量過(guò)程能力的指標有過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）。沒(méi)k指數（Cp和Pp）只顯示過(guò)程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關(guān)系；而有k指數（Cpk和Ppk）除了顯示過(guò)程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標準的關(guān)系外，還關(guān)注過(guò)程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標準的中間值，其數學(xué)關(guān)系是：Cpk≤Cp；Ppk≤Pp。

過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）和過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的主要區別是:

1）過(guò)程能力指數Cp和Cpk）的計算需要滿(mǎn)足兩個(gè)條件--過(guò)程穩定且數據呈正態(tài)分布，而過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的計算則不需要考慮這兩個(gè)條件。

過(guò)程能力指數（Cp和Cpk）是具有統計學(xué)意義的指數，表示的是過(guò)程的“潛能”，可以用來(lái)預測過(guò)程的將來(lái)，而過(guò)程績(jì)效指數（Pp和Ppk）的統計學(xué)意義并不被專(zhuān)家們接受，并且不能被用來(lái)有效地預測過(guò)程的未來(lái)。